Cours — Méthodes numériques

Introduction

Ce cours présente les principales méthodes numériques pour résoudre les équations aux dérivées partielles (EDP) qui apparaissent en mécanique des fluides et en physique. On y aborde les différences finies, les éléments finis et les volumes finis.

Ces notes sont un support vivant : elles s'enrichissent au fil des chapitres.

1. Différences finies

L'idée est d'approcher les dérivées par des différences sur une grille. Pour une fonction $u(x)$, l'approximation centrée de la dérivée seconde s'écrit :

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\bigg|_{x_i} \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{\Delta x^2} + \mathcal{O}(\Delta x^2)$$

Appliquée à l'équation de la chaleur $\partial_t u = \alpha\, \partial_{xx} u$, on obtient un schéma explicite :

$$u_i^{n+1} = u_i^{n} + \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2}\left(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n\right)$$

stable sous la condition $\dfrac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} \le \dfrac{1}{2}$.

import numpy as np

def heat_step(u, alpha, dx, dt):
    lap = (np.roll(u, -1) - 2*u + np.roll(u, 1)) / dx**2
    return u + alpha * dt * lap

2. Éléments finis

La méthode des éléments finis (FEM) part de la formulation faible. Pour le problème de Poisson $-\Delta u = f$ sur $\Omega$ avec $u = 0$ sur $\partial\Omega$, on cherche $u \in H_0^1(\Omega)$ tel que :

$$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, \mathrm{d}\Omega = \int_\Omega f\, v \, \mathrm{d}\Omega \qquad \forall\, v \in H_0^1(\Omega)$$

On discrétise ensuite sur une base de fonctions $\{\varphi_j\}$, ce qui conduit au système linéaire $\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{f}$ où $\mathbf{K}$ est la matrice de rigidité.

3. Comparaison des méthodes

Méthode	Géométries complexes	Conservation	Mise en œuvre
Différences finies	✗	✗	Simple
Éléments finis	✓	~	Avancée
Volumes finis	✓	✓	Moyenne

Pour aller plus loin

Les chapitres suivants couvriront les volumes finis, les méthodes spectrales et les schémas pour les écoulements multiphasiques. (à venir)