Lier le ciel à la prière : telle est l'ambition d'une science discrète mais d'une grande profondeur. La détermination des heures de prière se situe à la confluence de la théologie, de la géographie et de l'astronomie sphérique. Connue sous le nom de ʿilm al-mīqāt ou tawqīt, elle est définie par les savants comme « la connaissance des règles et des méthodes permettant d'arriver aux heures des prières obligatoires » (al-ʿAlamī, m. 1373 H / 1953). Si, pour le fidèle d'aujourd'hui, un simple geste sur une application suffit, ces horaires reposent en réalité sur des siècles d'observation et de mathématiques.

Introduction. Cette première partie survole la discipline — son histoire, ses instruments, ses débats et ses défis. Les chapitres suivants (I, II, …) développent chacun de ces points en détail.

Les horaires se lisent sur la course du Soleil. Sous l'horizon Est, le Fajr (aube, $-18^\circ$) ; au lever, le Chourouq ; au passage au méridien, le Ḏuhr ; l'après-midi, l'Asr ; au coucher, le Maghrib ; puis, sous l'horizon Ouest, la fin du crépuscule marque l'ʿIshāʾ ($-18^\circ$). Toute la science du tawqīt consiste à convertir ces positions en heures.

1. Les muwaqqitūn : l'astronomie au service du culte

Au sein de la civilisation musulmane, la mesure du temps liturgique revenait aux muwaqqitūn (sing. muwaqqit, « celui qui fixe le temps »). À la différence de l'astronome qui étudie les astres pour eux-mêmes, le muwaqqit met l'astronomie au service des finalités religieuses : c'est l'objet propre du tawqīt. La fonction se formalise surtout à l'époque mamelouke (XIIIᵉ–XIVᵉ siècle), souvent rattachée à une mosquée — sans empêcher certains muwaqqit-s, tel Ibn al-Shāṭir à Damas, de mener une astronomie théorique de premier plan.

Aux IXᵉ–Xᵉ siècles, le monde musulman est le centre névralgique de l'astronomie. Al-Battānī (m. 317 H / 929), dont le zīj (tables astronomiques) fait autorité, compte parmi les savants qui ont posé les repères de cette science. Ce sont d'ailleurs les astronomes musulmans — et non les seuls observatoires européens — qui ont fixé les valeurs angulaires (tel le fameux 18° que nous retrouverons), et c'est d'eux que les Européens les ont reprises. Leurs outils permettront de convertir les signes visuels décrits par la Loi en données angulaires précises.

2. Les instruments d'autrefois

Avant les algorithmes, les savants disposaient d'un riche outillage :

• L'astrolabe (al-asṭurlāb, الأسطرلاب) — l'instrument roi : il mesure la hauteur des astres et la convertit en heure locale.
• Le cadran solaire et le gnomon (al-mizwala, al-miqyās ; on parle aussi de basīṭa pour les cadrans plans médiévaux) — essentiels pour le Ḏuhr et l'ʿAṣr, calculés d'après l'ombre portée.
• Les azyāj (sing. zīj) — de véritables manuels astronomiques rassemblant tables des positions des astres (Soleil, Lune, planètes), paramètres et méthodes de calcul.

Ces instruments faisaient aussi l'objet d'un examen juridique : le juriste malikite al-Burzulī range ainsi, parmi les outils licites, les ramliyyāt et les mijānāt — termes anciens que l'on rend par cadrans et astrolabes.

3. Des signes de la Loi aux degrés du ciel

Le cœur du débat scientifique est la traduction des signes visuels de la Sharīʿa en angles de dépression du Soleil sous l'horizon. L'avis dominant des anciens (mutaqaddimūn), observé dès le IIIᵉ siècle de l'Hégire (an-Nayrīzī, al-Battānī, Ibn az-Zarqālluh) puis rapporté notamment par al-Bīrūnī (m. 440 H) et al-Ṭūsī (m. 672 H), fixe le Fajr à 18° sous l'horizon. Pour l'ʿIshāʾ, les muwaqqitūn ont proposé trois grandes positions :

Avis	Fajr	Fin du crépuscule (ʿIshāʾ)
Anciens (mutaqaddimūn), symétrique	18°	blanc — 18°
al-Murrākuchī (m. 660 H)	20°	rouge — 16°
Tardifs (mutaʾakhkhirūn)	19°	rouge — 17°

On notera que le 19° désigne le Fajr des tardifs, et non la blancheur de l'ʿIshāʾ : dans l'avis symétrique des anciens, la blancheur (position ḥanafite) correspond à 18°.

4. La physique en jeu : réfraction et Tamkīn

L'atmosphère agit comme une lentille : la réfraction fait paraître le Soleil au-dessus de l'horizon alors qu'il est physiquement en dessous (≈ 34′ à l'horizon). C'est pourquoi le coucher standard est pris à une dépression de

$$h_{\text{coucher}} \approx -0{,}833^\circ = -\underbrace{34'}_{\text{réfraction}} - \underbrace{16'}_{\text{demi-diamètre solaire}}$$

Pour absorber ces écarts et les variations d'altitude, les muwaqqitūn ont institué le Tamkīn (temps de précaution) — par exemple ≈ 8 minutes pour Fès (al-ʿAlamī).

5. Défis modernes : hautes latitudes et pollution lumineuse

Au-delà d'environ 48° N, le Soleil peut, en été, ne jamais descendre assez bas (sous 17°–19°) : les signes du Fajr et de l'ʿIshāʾ deviennent inobservables, et l'on recourt au Takdīr (estimation : ville la plus proche, ou division de la nuit). Par ailleurs, depuis les années 1970, la pollution lumineuse des villes masque les signes les plus ténus — rendant les calculs rigoureux des muwaqqitūn plus précieux que jamais.

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I. Les fondements du tawqīt : signes légaux et expertise

Pour comprendre cette discipline, il faut d'abord cerner la figure centrale du muwaqqit et la nature des signes visuels qu'il doit interpréter, avant de voir pourquoi le calcul pur ne suffit pas — c'est le rôle du Tamkīn.

1. Le muwaqqit face à l'astronome moderne

Astronomie physique et science du tawqīt partagent les mêmes outils mathématiques, mais poursuivent des finalités différentes :

• L'astronome étudie les astres pour des raisons physiques, chimiques ou cosmologiques. Il ne maîtrise généralement pas le sens légal (sharʿī) des phénomènes liés à la prière, ces questions n'étant pas enseignées dans les cursus d'astronomie.
• Le muwaqqit étudie l'astronomie exclusivement pour l'appliquer aux finalités religieuses. Il possède une double expertise : la mécanique céleste et les définitions juridiques des textes sacrés. La prière étant un acte quotidien, les muwaqqitūn ont éprouvé ces horaires de façon constante au fil des siècles.

2. Les signes visuels et légaux

Tout le calcul vise à traduire en heures de montre des phénomènes lumineux précis décrits par la Loi.

Le Fajr ṣādiq (aube véritable). Il marque le début de la prière du matin (Ṣubḥ) et du jeûne. C'est une blancheur horizontale s'étendant sur l'horizon Est — définition faisant l'objet d'un consensus (ijmāʿ) — et qui croît avec le temps. Il ne faut pas le confondre avec le Fajr kādhib (fausse aube) : une lueur verticale, conique, qui apparaît avant l'aube réelle puis s'efface. Les astronomes l'identifient à la lumière zodiacale (poussière interplanétaire diffusant la lumière solaire le long de l'écliptique), surtout visible aux basses latitudes — d'où son observation aisée dans la péninsule Arabique.

Le Maghrib (coucher). Il correspond à la disparition complète du disque solaire — bord supérieur inclus — sous l'horizon visible à l'Ouest.

La nuit légale, et non astronomique. La nuit légale (sharʿī) s'étend du coucher du soleil jusqu'à l'apparition du fajr ṣādiq (an-Nasafī, m. 710 H) — à distinguer de la nuit astronomique, comprise entre le crépuscule à 18° et l'aube astronomique à 18°. C'est cette nuit légale qui sert, dans la jurisprudence classique, à diviser la nuit en portions (tiers, moitié) pour fixer la fin du temps de l'ʿIshāʾ. (Dans le calcul pratique et aux hautes latitudes, d'autres méthodes divisent plutôt la nuit astronomique ou la période coucher → lever — nous y reviendrons.)

3. Le Tamkīn (temps de précaution)

Le calcul ne peut être purement géométrique. Le temps astronomique (ḥaqīqī, « réel »), fondé sur une Terre parfaite et un horizon théorique, doit être corrigé en temps légal (sharʿī), celui qui correspond à ce qui est réellement perceptible à l'œil. Trois facteurs principaux creusent l'écart : la réfraction atmosphérique (qui fait paraître le Soleil plus haut qu'il ne l'est), l'altitude du lieu d'observation et le rayon du disque solaire.

Pour absorber ces écarts et écarter tout doute (shakk) sur l'entrée réelle du temps, les muwaqqitūn ajoutent une marge de sécurité, le Tamkīn. Al-ʿAlamī en donne l'exemple de Fès : environ cinq minutes liées à l'altitude, plus trois minutes « pour écarter tout doute », soit huit minutes — un délai qu'il tient pour obligatoire. C'est cette correction qui fait passer du temps ḥaqīqī de l'astronome au temps sharʿī du calendrier de prière.

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II. Mécanique céleste et données de calcul

Pour transformer les signes visuels — l'aube, la tombée de la nuit — en horaires précis, le muwaqqit moderne s'appuie sur la mécanique céleste : coordonnées géographiques, variables astronomiques changeantes et trigonométrie sphérique.

1. Les coordonnées indispensables

Le calcul en un point du globe repose sur trois grandeurs :

• La latitude $\varphi$ — position au nord/sud de l'équateur (la hauteur du pôle céleste au-dessus de l'horizon est égale à la latitude du lieu).
• La longitude $\lambda$ — nécessaire pour relier l'heure locale au temps de référence (Greenwich).
• La déclinaison solaire $\delta$ — l'angle des rayons du Soleil avec le plan de l'équateur. Du fait de l'inclinaison de l'axe terrestre, elle varie chaque jour, oscillant entre $+23^\circ 26'$ (solstice d'été) et $-23^\circ 26'$ (solstice d'hiver).

La déclinaison $\delta$ varie de façon quasi sinusoïdale sur l'année : nulle aux équinoxes, maximale au solstice d'été ($+23{,}44^\circ$), minimale au solstice d'hiver ($-23{,}44^\circ$). C'est elle qui commande la hauteur du Soleil et la durée du jour.

Que représentent $\varepsilon$ et $\lambda$ ? L'obliquité $\varepsilon \approx 23{,}44^\circ$ est l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre — la cause des saisons. La longitude écliptique $\lambda$ repère le Soleil sur son orbite (donc la saison) : à $\lambda = 90^\circ$, il culmine très haut dans l'hémisphère nord (été). La déclinaison $\delta$ indique de quel côté de l'équateur le Soleil éclaire la Terre — d'où un Fajr plus tôt ou plus tard selon la saison.

Démonstration. Le Soleil est sur l'écliptique : son vecteur position unitaire ($r = 1$, latitude écliptique $\beta = 0$) s'écrit, en coordonnées écliptiques,

$$\mathbf{r}_e = \begin{bmatrix} X_e \\ Y_e \\ Z_e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r\cos\beta\cos\lambda \\ r\cos\beta\sin\lambda \\ r\sin\beta \end{bmatrix} \;\xrightarrow{\ \beta=0,\ r=1\ }\; \begin{bmatrix} \cos\lambda \\ \sin\lambda \\ 0 \end{bmatrix}$$

On passe au repère équatorial par une rotation d'angle $\varepsilon$ autour de l'axe des équinoxes (l'axe $x$) :

$$\mathbf{r}_{eq} = R_x(\varepsilon)\,\mathbf{r}_e, \qquad R_x(\varepsilon) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon & -\sin\varepsilon \\ 0 & \sin\varepsilon & \cos\varepsilon \end{bmatrix}$$

ce qui donne

$$\mathbf{r}_{eq} = \begin{bmatrix} \cos\lambda \\ \cos\varepsilon\,\sin\lambda \\ \sin\varepsilon\,\sin\lambda \end{bmatrix}$$

Or, par définition de la déclinaison, la troisième composante équatoriale vaut $z_{eq} = \sin\delta$. On en déduit

$$\sin\delta = \sin\varepsilon\,\sin\lambda \;\Longrightarrow\; \delta = \arcsin\!\big(\sin\varepsilon\,\sin\lambda\big)$$

Près des équinoxes, $\lambda \approx \tfrac{360^\circ}{365}(n-81)$, d'où l'approximation usuelle $\delta \approx 23{,}44^\circ\,\sin\!\big(\tfrac{360^\circ}{365}(n-81)\big)$ — la sinusoïde tracée ci-dessus.

2. La mesure du temps et l'équation du temps

Le temps de nos montres ne suit pas exactement le Soleil. On distingue :

• Le temps solaire vrai (TSV) — défini par la position réelle du Soleil ; le midi solaire vrai est l'instant où le Soleil passe au méridien (point le plus haut).
• Le temps solaire moyen (TSM) — un temps fictif supposant un mouvement parfaitement régulier.
• L'équation du temps $E$ — l'écart (en minutes) entre les deux, dû à l'excentricité de l'orbite et à l'obliquité de l'écliptique. C'est elle qui corrige le passage du Soleil réel vers l'heure de nos montres.

L'équation du temps $E$ : l'écart (en minutes) entre le midi solaire vrai et le midi moyen, qui oscille d'environ $-14$ à $+16$ min. Sa forme à deux bosses résulte de la combinaison de l'excentricité de l'orbite et de l'obliquité de l'écliptique.

Formellement, $E = 4\,(L - \alpha)$ minutes. Ici $L$ est la longitude moyenne du Soleil — sa position moyenne sur son trajet annuel, corrigée de l'aberration (où l'on voit réellement le Soleil, et non où il « devrait » être) — et $\alpha$ son ascension droite, sa position mesurée le long de l'équateur céleste, en quelque sorte la « longitude » du Soleil sur la sphère céleste. Une approximation classique, avec $B = \tfrac{360^\circ}{365}(n - 81)$, en donne directement la courbe :

$E \approx 9{,}87\,\sin 2B - 7{,}53\,\cos B - 1{,}5\,\sin B \quad(\text{min})$

les deux premiers termes traduisant l'obliquité, le dernier l'excentricité.

3. L'astronomie sphérique et la formule de l'angle horaire

Le moteur du calcul est la trigonométrie sphérique, appliquée au triangle astronomique qui relie le pôle céleste $P$, le zénith de l'observateur $Z$ et le Soleil $S$.

Le triangle astronomique $PZS$ tracé sur la sphère céleste. Ses trois côtés sont des arcs de grand cercle ; l'angle au pôle $P$ est l'angle horaire $H$ recherché.

Les trois côtés de ce triangle sont des arcs de grand cercle dont les longueurs (en degrés) se lisent directement sur les coordonnées :

$$\widehat{PZ} = 90^\circ - \varphi, \qquad \widehat{PS} = 90^\circ - \delta, \qquad \widehat{ZS} = 90^\circ - h,$$

où $\varphi$ est la latitude du lieu, $\delta$ la déclinaison du Soleil (§1) et $h$ son altitude au-dessus de l'horizon. L'angle au sommet $P$, formé entre la direction du méridien ($PZ$) et celle du Soleil ($PS$), est précisément l'angle horaire $H$ que l'on cherche.

La loi des cosinus sphérique relie un côté d'un triangle sphérique aux deux autres et à l'angle qu'ils enserrent. Appliquée au côté $\widehat{ZS}$, qui est opposé au sommet $P$ :

$$\cos\widehat{ZS} = \cos\widehat{PZ}\,\cos\widehat{PS} + \sin\widehat{PZ}\,\sin\widehat{PS}\,\cos H.$$

En y substituant les trois arcs et en utilisant les identités $\cos(90^\circ - x) = \sin x$ et $\sin(90^\circ - x) = \cos x$, il vient :

$$\sin h = \sin\varphi\,\sin\delta + \cos\varphi\,\cos\delta\,\cos H.$$

Il ne reste qu'à isoler $\cos H$ pour obtenir la formule maîtresse, qui donne l'angle horaire auquel le Soleil atteint une altitude $h$ fixée :

$$\cos H = \frac{\sin h - \sin\varphi\,\sin\delta}{\cos\varphi\,\cos\delta} \quad\Longrightarrow\quad H = \arccos\!\left(\frac{\sin h - \sin\varphi\,\sin\delta}{\cos\varphi\,\cos\delta}\right)$$

où $h$ est l'altitude du Soleil (négative sous l'horizon, pour le Fajr et l'ʿIshāʾ). On convertit ensuite $H$ en temps à raison de $15^\circ = 1$ heure :

$$t_{\text{prière}} = t_{\text{Ḏuhr}} \mp \frac{H}{15} \qquad(-\ \text{le matin},\ +\ \text{l'après-midi})$$

Le Ḏuhr est le cas simple : le Soleil est au méridien ($H = 0$), d'où

$$t_{\text{Ḏuhr}} = 12 + \mathrm{TZ} - \frac{\lambda}{15} - \frac{E}{60}$$

(TZ = décalage du fuseau en heures, $\lambda$ comptée positive vers l'Est, $E$ en minutes).

On isole alors l'angle horaire par $H = \arccos(\cdot)$. Or l'$\arccos$ n'est défini que sur $[-1, 1]$ : la formule n'a de solution que si son argument $(\sin h - \sin\varphi\sin\delta)/(\cos\varphi\cos\delta)$ y reste. Au-delà, le Soleil n'atteint jamais l'altitude $h$ visée — la prière n'a alors pas d'heure calculable ce jour-là (cas des hautes latitudes, traité au §5).

L'angle horaire $H = \arccos(\cdot)$ en fonction de son argument : défini uniquement sur $[-1, 1]$ (de $180^\circ$ à $0^\circ$). Dès que l'argument sort de cette bande, il n'existe aucune solution — c'est la signature mathématique des jours et nuits polaires.

4. Comment Tawqit le calcule

L'application applique ces principes pas à pas. D'abord la position du Soleil au jour julien $\mathrm{JD}$, par les formules de basse précision de l'Astronomical Almanac (avec $n = \mathrm{JD} - 2\,451\,545$) :

$$\begin{aligned} L &= 280{,}466 + 0{,}985\,647\,4\,n \pmod{360} && \text{(longitude moyenne)}\\ g &= 357{,}528 + 0{,}985\,600\,3\,n \pmod{360} && \text{(anomalie moyenne)}\\ \lambda &= L + 1{,}915\sin g + 0{,}020\sin 2g, \quad \varepsilon = 23{,}44^\circ\\ \delta &= \arcsin(\sin\varepsilon\,\sin\lambda), \quad E = 4\,(L - \alpha) \end{aligned}$$

avec $\alpha = \operatorname{atan2}(\cos\varepsilon\sin\lambda,\ \cos\lambda)$. Chaque prière s'obtient ensuite en injectant son altitude $h$ dans l'angle horaire $H(h) = \arccos\!\big[(\sin h - \sin\varphi\sin\delta)/(\cos\varphi\cos\delta)\big]$, puis en convertissant en temps autour du midi solaire. Les six horaires ont alors chacun leur formule explicite :

Ḏuhr — le Soleil passe au méridien ($H = 0$), c'est le pivot de la journée : $t_{\text{Ḏuhr}} = 12 + \mathrm{TZ} - \frac{\lambda}{15} - \frac{E}{60}.$

Fajr — aube astronomique, le Soleil à $h = -18^\circ$ sous l'horizon : $t_{\text{Fajr}} = t_{\text{Ḏuhr}} - \frac{H(-18^\circ)}{15}.$

Chourouq (lever) — la première partie du bord supérieur du Soleil apparaît à l'horizon visible, $h = h_0$ : $t_{\text{Chourouq}} = t_{\text{Ḏuhr}} - \frac{H(h_0)}{15}.$

ʿAṣr — l'altitude est fixée par la longueur de l'ombre, $t = 1$ (majorité) ou $2$ (ḥanafite) : $h_{\text{ʿAṣr}} = \operatorname{arccot}\!\big(t + \tan|\varphi - \delta|\big),\qquad t_{\text{ʿAṣr}} = t_{\text{Ḏuhr}} + \frac{H(h_{\text{ʿAṣr}})}{15}.$

Maghrib (coucher) — le disque entier disparaît sous l'horizon visible, $h = h_0$, plus deux minutes de précaution : $t_{\text{Maghrib}} = t_{\text{Ḏuhr}} + \frac{H(h_0)}{15} + \frac{2}{60}.$

ʿIshāʾ — crépuscule astronomique, le Soleil de nouveau à $h = -18^\circ$ : $t_{\text{ʿIshāʾ}} = t_{\text{Ḏuhr}} + \frac{H(-18^\circ)}{15}.$

Pour le lever et le coucher, Tawqit ne se contente pas de $h = 0$ : il raffine l'horizon à $h_0 \approx -0{,}833^\circ$ en cumulant la réfraction atmosphérique (selon la pression et la température), le demi-diamètre solaire, la parallaxe et l'abaissement d'horizon lié à l'altitude du lieu — c'est le Tamkīn mis en équations. Aux très hautes latitudes, lorsque l'angle n'est jamais atteint, l'application bascule sur les règles de Takdīr (ville la plus proche, division de la nuit).

Exemple complet : La Mecque, le 15 juin 2025

Déroulons le calcul de bout en bout pour La Mecque ($\varphi = 21{,}42^\circ$ N, $\lambda = 39{,}83^\circ$ E, fuseau UTC+3, altitude $300$ m).

1) Position du Soleil. Le jour julien à midi est $\mathrm{JD} = 2\,460\,842$, soit $n = \mathrm{JD} - 2\,451\,545 = 9297$. Les formules de basse précision donnent la longitude moyenne $L = 84{,}03^\circ$, l'anomalie $g = 160{,}65^\circ$, donc la longitude écliptique $\lambda = 84{,}65^\circ$, puis

$$\delta = \arcsin\!\big(\sin 23{,}44^\circ \cdot \sin 84{,}65^\circ\big) = 23{,}33^\circ, \qquad E = -0{,}58\ \text{min}.$$

2) Midi solaire (Ḏuhr).

$$t_{\text{Ḏuhr}} = 12 + 3 - \frac{39{,}83}{15} - \frac{-0{,}58}{60} = 12{,}35\ \text{h} \;\to\; 12\text{h}21.$$

3) Les autres prières. On calcule l'angle horaire $H(h)$ pour l'altitude de chacune, puis $t = t_{\text{Ḏuhr}} \mp H/15$. Pour le lever et le coucher, l'horizon corrigé combine réfraction ($R = 0{,}54^\circ$), demi-diamètre ($0{,}26^\circ$) et abaissement d'horizon ($D = 0{,}61^\circ$ pour $300$ m), soit $h_0 = -1{,}41^\circ$.

Prière	altitude h	H	heure
Fajr	−18°	122,1°	04h13
Chourouq	−1,41°	101,4°	05h36
Ḏuhr	H = 0	0°	12h21
ʿAṣr	44,1°	49,9°	15h41
Maghrib	−1,41°	101,4°	19h09
ʿIshāʾ	−18°	122,1°	20h29

(L'ʿAṣr utilise $h = \operatorname{arccot}(1 + \tan|\varphi-\delta|) = 44{,}1^\circ$, et le Maghrib reçoit ses deux minutes de précaution.) Voilà les six horaires d'une journée ; répété sur toute l'année, on obtient :

Les six horaires calculés jour par jour à La Mecque (UTC+3, sans changement d'heure). Le Ḏuhr bouge peu (équation du temps) ; Fajr/Chourouq et Maghrib/ʿIshāʾ s'écartent du midi au gré des saisons, au rythme de la déclinaison.

5. Jours polaires et nuits polaires

Aux latitudes élevées, le Soleil peut ne jamais franchir certaines altitudes. En été, il ne descend pas jusqu'à $18^\circ$ sous l'horizon : l'aube astronomique n'arrive jamais — c'est le jour polaire, et le Fajr comme l'ʿIshāʾ n'ont pas d'heure. En hiver, plus au nord, il peut ne pas se lever du tout : c'est la nuit polaire.

Tout se lit sur le signe de $x = \cos H$ (l'argument du §3) :

• $x < -1$ → jour polaire. Le Soleil reste toujours au-dessus de l'altitude visée. Au coucher ($h \approx 0$), c'est le Soleil de minuit ; pour le Fajr/ʿIshāʾ ($h = -18^\circ$), il ne descend jamais assez bas pour que l'obscurité soit complète — les nuits blanches.
• $x > 1$ → nuit polaire. Le Soleil reste toujours en dessous de l'altitude visée. Au lever ($h \approx 0$), il ne franchit jamais l'horizon.

Les seuils (hémisphère Nord) : le Soleil est circumpolaire (toujours visible) si $\delta > 90^\circ - \varphi$, et jamais visible si $\delta < \varphi - 90^\circ$.

Un même lieu connaît parfois les deux selon la saison. À Tromsø (Norvège, ~$69^\circ$ N), le Soleil ne se couche pas de mi-mai à fin juillet (jour polaire), et ne se lève pas de fin novembre à mi-janvier (nuit polaire). Plus la latitude monte, plus la période sans Fajr calculable s'allonge — d'où le recours au Takdīr.

Heure du Fajr ($18^\circ$) au fil de l'année, à longitude fixe, pour plusieurs latitudes. À $45^\circ$ N elle reste continue ; mais dès ~$55^\circ$ N la courbe s'interrompt en été (plus de Fajr), et ce « trou » s'élargit vers le nord.

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III. Le débat sur les degrés (Fajr et ʿIshāʾ)

Le point le plus délicat du tawqīt est la détermination de l'angle exact de dépression du Soleil correspondant à l'aube (Fajr) et à la fin du crépuscule (ʿIshāʾ). Les textes décrivent des couleurs — blancheur, rougeur ; les savants ont dû les traduire en degrés astronomiques.

L'angle de dépression est l'enfoncement du Soleil sous l'horizon : $0^\circ$ au coucher, et d'autant plus grand que le Soleil est bas et le ciel sombre. Plus l'angle est profond, plus on est avancé dans la nuit. Tout le débat porte donc sur quel angle correspond au vrai signe — la blancheur du Fajr, la disparition du crépuscule de l'ʿIshāʾ.

L'angle de dépression à l'Est (Fajr) et à l'Ouest (ʿIshāʾ). Le vrai signe est à $18^\circ$ (ciel réellement noir) ; à $12^\circ$ et $15^\circ$ le Soleil est trop proche de l'horizon — le ciel n'est pas encore noir, ces valeurs sont astronomiquement et légalement infondées (voir §3).

1. L'héritage des mutaqaddimīn : l'unanimité sur les 18°

Durant les premiers siècles (jusqu'au VIIᵉ siècle de l'Hégire environ), un large consensus s'établit chez les grands astronomes musulmans, les mutaqaddimīn. D'al-Nayrīzī (m. 290 H) à al-Bīrūnī (m. 440 H), Ibn az-Zarqālluh (m. 493 H) et al-Ṭūsī (m. 672 H), tous affirment, par l'observation (bi-r-raṣd), que le Fajr commence — et le crépuscule de l'ʿIshāʾ finit — lorsque le Soleil est à 18° sous l'horizon.

Le critère est optique : à 18°, la lueur solaire cesse d'effacer (à l'aube) ou achève de révéler (au crépuscule) les plus petites étoiles visibles à l'œil nu — ce qui coïncide exactement avec le crépuscule astronomique moderne. Prétendre, comme certains aujourd'hui, qu'al-Bīrūnī aurait retenu 15° ou 17° est d'ailleurs faux : sa valeur est bien 18°.

2. Le tournant des mutaʾakhkhirūn : l'asymétrie (19° / 17°)

À partir du VIIIᵉ siècle H., des savants plus tardifs (mutaʾakhkhirūn) remettent en cause la symétrie parfaite entre l'aube et le crépuscule, en différenciant les angles selon le phénomène visé :

• 19° / 17° — l'aube véritable (blancheur) apparaîtrait plus tôt, à 19°, tandis que la disparition de la rougeur du crépuscule — début de l'ʿIshāʾ pour la majorité des écoles — se produirait à 17°. Cet avis est porté par l'école des al-Māridīnī, puis nettement par l'astronome ḥanafite ottoman al-Galanbawī (m. 1205 H).
• 20° / 16° — Abū ʿAlī al-Murrākuchī (m. 660 H) prônait une asymétrie encore plus marquée.
• L'avis ḥanafite vise la disparition de la blancheur (après la rougeur), d'où un angle plus profond pour l'ʿIshāʾ (≈ 19° au Fajr, 17° à la rougeur, la blancheur étant environ 2° plus bas) — convention longtemps en usage en Turquie.

3. Panorama des conventions modernes — et leurs limites

Les organisations contemporaines emploient des conventions variées, d'où des écarts de plusieurs minutes entre les calendriers :

Institution	Fajr	ʿIshāʾ
Ligue islamique mondiale (MWL)	18°	17°
Autorité égyptienne (Survey)	19,5°	17,5°
Umm al-Qurā (La Mecque)	18,5°	90 min après Maghrib
ISNA (Amérique du Nord)	15°	15°
UOIF (France)	12°	12°

Les valeurs proches de celles des Anciens (18°, et la fourchette 17°–19,5°) restent fidèles à l'observation. Les angles les plus faibles — 15° et surtout 12° — sont en revanche contestés.

Le 15° (ISNA). Il n'est pas le fruit d'une observation rigoureuse, mais d'un œil non entraîné sous un ciel pollué. Une campagne d'observation menée aux Émirats (2014-2017) est éloquente : des observateurs peu aguerris « voyaient d'abord le Fajr à 15°, puis, à mesure qu'ils s'exerçaient, à 18° puis 19° ». Comme le résume la source : la maîtrise du fiqh n'est pas la maîtrise de l'observation.

Le 12° (UOIF, crépuscule nautique). Il est plus fragile encore : le crépuscule nautique est une convention de navigation, sans existence légale; le retenir n'a « pas plus de fondement que de choisir 10°, 11°, 13° ou 14° ». Le généraliser à toute l'année contredit le texte explicite (naṣṣ), puisque le crépuscule apparaît bel et bien à 18° la majeure partie de l'année — y compris en France. Et il ne règle même pas le problème des hautes latitudes : au-delà de ~53° N (Newcastle, 54°), le Soleil reste au-dessus de −12° toute la nuit.

Astronomiquement, ces petits angles annoncent le Fajr trop tard et l'ʿIshāʾ trop tôt. C'est pourquoi les savants invitent à suivre (taqlīd) un muwaqqit à la fois expert et intègre, dont le calcul vérifié (taḥqīqī) repose sur les degrés établis par les Anciens — d'autant que la valeur de 18° est, à l'origine, l'œuvre des astronomes musulmans, « dont les Européens l'ont reprise ».

4. La pollution lumineuse et le recours au calcul

Depuis les années 1970, la pollution lumineuse des villes rend l'observation des signes les plus ténus extrêmement difficile : un observateur peut croire le temps non entré alors qu'il l'est astronomiquement. Les savants assimilent ce voile à celui des nuages — situations où l'on revient au calcul des muwaqqitūn, fondé sur le 18°.

Reste la prudence du jeûne. Pour le Fajr se nouent deux exigences contraires : l'imsāk (cessation de manger), qu'il faut par précaution avancer, et la prière, qu'il faut par précaution retarder. Ne pouvant être prudent sur les deux à la fois, al-ʿAlamī conclut qu'il faut avancer l'imsāk — s'arrêter quand on est sûr d'être encore dans la nuit — et retarder la prière — prier quand on est sûr que le jour est entré.

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IV. La réfraction atmosphérique

Au-delà des angles de dépression, une correction physique s'impose à tous les horaires liés à l'horizon : la lumière du Soleil ne nous parvient pas en ligne droite. C'est la réfraction atmosphérique.

1. Pourquoi l'atmosphère courbe la lumière — démonstration

L'atmosphère est un fluide stratifié : sous l'effet de la gravité, l'air est plus dense en bas qu'en haut. L'indice de réfraction $n$ croissant avec la densité, un rayon qui plonge vers des couches de plus en plus denses se courbe vers le sol — si bien que l'astre paraît plus haut qu'il ne l'est.

1) L'invariant de réfraction (théorème de Bouguer). Modélisons l'atmosphère par des couches sphériques concentriques d'indice $n(r)$ centrées sur la Terre. À chaque interface, la loi de Snell-Descartes $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ s'applique ; combinée à la relation géométrique entre couches (loi des sinus dans le triangle rayon–centre), elle fournit un invariant le long du rayon :

$n(r)\, r\, \sin z = \text{const}$

où $z$ est la distance zénithale (angle au regard de la verticale locale) et $r$ la distance au centre de la Terre — l'analogue sphérique de l'invariant $n\sin z$ d'un milieu plan stratifié.

2) L'angle de réfraction. En différentiant l'invariant et en intégrant le long du trajet, l'écart angulaire total entre direction vraie et direction apparente s'écrit

$R = -\int_{\text{sol}}^{\infty} \tan z \;\frac{\mathrm{d}n}{n}.$

Comme $n$ reste très proche de $1$ ($n_0 - 1 \sim 3\times10^{-4}$), on a $\mathrm{d}n/n \approx \mathrm{d}n$ ; pour une atmosphère mince devant le rayon terrestre (couches quasi planes), $z$ varie peu sur le trajet et il reste

$R \approx (n_0 - 1)\,\tan z,$

où $n_0$ est l'indice au sol : c'est la loi en $\tan z$ de Laplace.

3) Le lien avec la mécanique des fluides. Deux relations ferment le problème :

• Gladstone-Dale lie l'indice à la masse volumique : $n - 1 = k\,\rho$ ($k \approx 2{,}3\times10^{-4}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}}$ pour l'air) ;
• l'air, gaz parfait en équilibre hydrostatique, a au sol $\rho_0 = \dfrac{P}{R_s\,T}$ ($P$ pression, $T$ température absolue, $R_s$ constante spécifique de l'air).

En combinant :

$R \approx k\,\rho_0\,\tan z = \frac{k}{R_s}\,\frac{P}{T}\,\tan z.$

La réfraction est donc proportionnelle à $P/T$ : un air froid et dense réfracte plus qu'un air chaud et raréfié. C'est exactement le facteur que l'on retrouve dans Tawqit, où la valeur à l'horizon ($z \to 90^\circ$ : la loi en $\tan z$ diverge et c'est la géométrie sphérique qui plafonne $R$ à ~$34'$) s'écrit

$R \approx 0{,}569^\circ \times \frac{0{,}28\,P}{T + 273}$

($P$ en hPa, $T$ en °C), à laquelle s'ajoute l'abaissement de l'horizon $D = 0{,}0353\,\sqrt{h_{\text{alt}}}$ dû à l'altitude du lieu (en mètres).

Concrètement, la réfraction à l'horizon varie de ~$29'$ (air chaud et raréfié) à ~$39'$ (air froid et dense d'un anticyclone) :

La réfraction $R$ à l'horizon en fonction de la température, pour trois pressions. Elle décroît en $1/(T+273)$ et croît avec $P$ — la signature du facteur $P/T$. Le point marqué correspond aux conditions standard ($1013$ hPa, $15$ °C, soit ~$34'$).

2. L'effet à l'horizon

La réfraction est maximale à l'horizon (~$34'$) et décroît très vite avec la hauteur du Soleil :

La réfraction $R$ en fonction de l'altitude vraie du Soleil (formule de Bennett, 1982). À l'horizon ($h \approx 0$), elle atteint ~$34'$ ; à l'altitude de l'Asr ($13$–$33^\circ$), elle tombe à $1$–$4'$.

C'est pourquoi le coucher « légal » n'est pas pris au centre géométrique ($h = 0$) mais à

$h \approx -0{,}833^\circ = -\underbrace{34'}_{\text{réfraction}} - \underbrace{16'}_{\text{demi-diamètre}}$

— garantissant que le Maghrib n'est annoncé qu'après la disparition physique complète du disque.

3. Un impact très inégal selon la prière

Le facteur décisif est la hauteur du Soleil. En faisant varier l'altitude du lieu (de $0$ à $8000$ m, pression et température fixées), on mesure son effet — via l'abaissement d'horizon $D = 0{,}0353\sqrt{h_{\text{alt}}}$ — sur chaque horaire au fil de l'année, à Roubaix ($50{,}7^\circ$ N) :

Horaire pour cinq altitudes du lieu ($0$ à $8000$ m). Plus on est haut, plus l'horizon s'abaisse : le Maghrib est retardé et le Chourouq avancé de plusieurs minutes en montagne. L'ʿAṣr, fixé par l'ombre et non par l'horizon, est quasi insensible : à l'échelle de l'heure les courbes se confondent, on trace donc le retard (en secondes) que la réfraction impose au ʿAṣr — c'est-à-dire de combien le ʿAṣr réel tombe après le ʿAṣr purement géométrique (3ᵉ graphe). Ce retard atteint ~$30$ s au niveau de la mer en hiver, et diminue avec l'altitude (moins de pression → moins de réfraction) comme en été.

• Maghrib & Chourouq — le Soleil frôle l'horizon : l'altitude du lieu abaisse l'horizon et décale l'horaire de plusieurs minutes — le Maghrib est retardé, le Chourouq avancé, d'autant plus qu'on monte haut.
• ʿAṣr — son heure est fixée par la longueur de l'ombre, pas par l'horizon : la réfraction le retarde de quelques dizaines de secondes au plus (3ᵉ graphe), et ce retard diminue avec l'altitude — négligeable en pratique.
• Fajr & ʿIshāʾ — définis par un angle de dépression choisi ($18^\circ$, etc.), ils intègrent déjà implicitement les conditions d'observation.

Une étude dédiée (Özlem, 2016) propose tout de même une correction de réfraction pour le ʿAṣr. L'ombre est projetée par le Soleil apparent (rehaussé par la réfraction), donc plus courte que celle du Soleil vrai. On corrige en calculant l'angle dans le repère apparent, puis en reconvertissant en altitude vraie :

$$\begin{aligned} Z &= 90^\circ - |\varphi - \delta| && \text{(hauteur vraie au midi)}\\ Z' &= Z + 0{,}017\,\cot\!\Big(Z + \tfrac{10{,}3^\circ}{Z + 5{,}11^\circ}\Big) && \text{(apparente, Sæmundsson)}\\ A' &= \operatorname{arccot}\!\big(\cot Z' + t\big) && \text{(angle ʿAṣr apparent)}\\ C &= A' - \tfrac{1}{60}\cot\!\Big(A' + \tfrac{7{,}31^\circ}{A' + 4{,}4^\circ}\Big) && \text{(angle vrai corrigé, Bennett)} \end{aligned}$$

L'angle corrigé $C$ est ensuite injecté dans la formule de l'angle horaire à la place de $h_{\text{ʿAṣr}}$. Comme l'ombre apparente est plus courte, le vrai angle du ʿAṣr est légèrement plus petit : la prière tombe un peu plus tard. Le décalage reste de l'ordre de quelques secondes (≈ $30$–$45$ s à $50^\circ$ en hiver, $1$–$2$ min vers $60^\circ$) — d'où son omission dans la plupart des calculs.

En somme, la réfraction est décisive au ras de l'horizon (Maghrib, Chourouq) et marginale en hauteur (ʿAṣr, quelques secondes).

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L'application Tawqit

C'est dans cet héritage que s'inscrit Tawqit, l'application (mobile et web) que j'ai développée. Plutôt que de s'appuyer sur des tables pré-calculées, elle calcule la position du Soleil en temps réel — déclinaison, équation du temps, angle horaire — pour déterminer les heures de prière en tout point du globe, selon la latitude, la longitude et l'angle de dépression retenu pour le Fajr et l'ʿIshāʾ. Elle propose plusieurs conventions de calcul, un Tamkīn réglable et des ajustements manuels — reprenant, en code, le geste des muwaqqitūn : traduire les signes du ciel en horaires.

Disponible sur l'App Store et Google Play (liens en bas de page).

Références

• « L'utilisation des degrés selon les savants du tawqīt » — synthèse de référence des avis des muwaqqitūn sur les degrés du Fajr et de l'ʿIshāʾ (source principale de cet article).
• Al-Bīrūnī, al-Qānūn al-Masʿūdī.
• Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī, traités d'astronomie sphérique.
• Al-Nasafī, Kanz al-Daqāʾiq (définitions du coucher et de la nuit légale).
• Al-ʿAlamī, Ḥāshiya ʿalā sharḥ al-Fashtālī (le Tamkīn).
• Al-Burzulī, Jāmiʿ masāʾil al-aḥkām (instruments du mīqāt).
• S. Acaroğlu, The Calculation of Islamic Prayer Times, thèse, Humboldt-Universität zu Berlin.
• Definition & Calculation of Prayer Timings (réfraction et signes du fajr).
• Prayer Times Calculation (conventions de calcul des heures de prière).
• G. G. Bennett, « The Calculation of Astronomical Refraction in Marine Navigation », Journal of Navigation, 35 (1982).
• A. Özlem, « Impact of Atmospheric Refraction on Asr Time » (2016) — correction de réfraction pour le ʿAṣr.
• J. Meeus, Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, 1998.
• W. M. Smart, Textbook on Spherical Astronomy, Cambridge University Press.